Introducción a la Logica

Es probable que en el siglo IV antes de la Era Común, se iniciara con Aristóteles el estudio de la Lógica; pero no fue hasta a mediados del siglo XIX cuando George Boole (1815-1864) inicia el estudio de lo que hoy se conoce como Lógica Matemática.
Uno de los fines de la enseñanza matemática es disciplinar la inteligencia, de ahí el valor formativo de esta ciencia ya que necesita de exactitud y precisión en sus razonamientos. La inteligencia se disciplina a través de un tipo especial de pensamiento que es el razonamiento. El objetivo de la lógica es estudiar la validez de los razonamientos.
La validez de la lógica es una relación entre las premisas y la conclusión expresada a través de una serie de símbolos matemáticos y/o auxiliares llamados enunciados. Por medio de un enunciado con sentido podemos emitir un juicio (actividad mental por medio de la cual pensamos algo) o un razonamiento (evaluación mental por medio de la cual obtenemos conclusiones).

CONCEPTO DE LA LOGICA:
La lógica es una relación entre las premisas y la conclusión expresada a través de una serie de símbolos matemáticos y/o auxiliares llamados enunciados.
Para su estudio, se divide en lógica formal, lógica aplicada y lógica simbólica.
Lógica formal: es la parte de la filosofía que estudia las formas y leyes generales del pensamiento tendiente al conocimiento de la verdad y el error.
Lógica Aplicada: es la que estudia las formas o estructura del pensamiento adaptándose al objeto de estudio de las distintas ciencias.
Lógica simbólica: es la que estudia sistemáticamente las proposiciones, los razonamientos y las demostraciones para lo cual utiliza un lenguaje constituido por símbolos convencionales que representan estructuras. La lógica simbólica es aquella que se refiere a las proposiciones y que también se conoce con el nombre de Calculo Proposicional.
Lógica proposicional
La lógica proposicional es una rama de la lógica clásica que estudia las proposiciones o sentencias lógicas, sus posibles evaluaciones de verdad y en el caso ideal, su nivel absoluto de verdad.
Proposiciones. Formalmente hablando, se define una proposición como un enunciado declarativo que puede ser verdadero o falso, pero no ambos a la vez. Las proposiciones se representan mediante variables proposicionales simbolizadas mediante letras. Con la combinación de variables proposicionales y conjunciones, definidas como functores o funciones de verdad, se obtienen fórmulas sentenciales o sentencias. Estas pueden ser, según su tabla de verdad:
Tautología: es la sentencia que es necesariamente verdadera.
Contradicción: es la sentencia que es necesariamente falsa.
Contingencia: es la sentencia que puede ser verdadera o falsa.

CONCEPTO DE PROPOSICIONES
Una proposición es una oración declarativa de la cual podemos asegurar que es verdadera o que es falsa, pero no ambas situaciones a la vez.
Sintaxis: El primer paso en el estudio de un lenguaje es definir los símbolos básicos que lo constituyen (alfabeto) y cómo se combinan para formar sentencias. Está constituido por:
Símbolos de veracidad: V para verdadero y F para falso.
Símbolos de variables: p, q, r, s,...
Símbolos de conectivas: V, ^, ٧, , →, ↔
Símbolos de puntuación: ( , ), para evitar ambigüedades.
Reglas de formación. Las clases de sentencias bien formadas se definen por reglas puramente sintácticas, llamadas reglas de formación, y que son:
Una variable proposicional es una sentencia bien formada.
Una sentencia bien formada precedida de la negación es una sentencia bien formada.
Dos sentencias bien formadas unidas por una de las partículas conectivas binarias constituye una sentencia bien formada.
Se pueden omitir los paréntesis que encierran una sentencia completa.
El estilo tipográfico de los paréntesis se puede variar para hacerlos más evidentes usando corchetes y llaves.
A las conjunciones y disyunciones se les puede permitir tener más de dos argumentos.

CLASIFICACION DE LAS PROPOSICIONES:
Proposiciones simples o atómicas: son aquellas que constan de un solo enunciado.
Proposiciones compuestas o moleculares: son las que constan de dos o más proposiciones simples entrelazadas por ciertas particularidades lógicas llamadas conectivos lógicos.

CLASIFICACION DE PROPOSICIONES COMPUESTAS:
La Negación: la conectiva “no” es la que se antepone a una proposición para cambiar su valor de verdad y se representa por el siguiente símbolo “~”.
La Conjunción: es una proposición compuesta que se obtiene al unir dos proposiciones simples unidas o entrelazadas mediante el conectivo “y”, y se representa con el siguiente símbolo: “^”.
La Disyunción Inclusiva: es una proposición compuesta de dos proposiciones simples unidas por el conectivo lógica “o”, que se representa de la manera siguiente: “V”.
La Disyunción Exclusiva: es una proposición compuesta por dos proposiciones simples entrelazas por el conectivo “o…o” y se representa así: “V”.
La Condicional o Implicación: es la combinación de dos proposiciones unidas por la conectiva “si…entonces…”, que se representa de la forma siguiente: “→“. La proposición que aparece entre las palabras ”Si y Entonces”, se denomina antecedente o hipótesis y la que aparece después de la palabra “Entonces”, se le llama consecuente o conclusión.
La Bicondicional o Doble Implicación: es una proposición que se obtiene al unir dos proposiciones simples mediante el conectivo “si y solo si” y se representa así:” ↔”

VALOR DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS.
La Negación: si una proposición (sea simple o compuesta) es verdadera, su negación es falsa y viceversa. Ejemplo: si P es: “Constanza es un municipio de la Vega”, ~ P se leerá: “no es cierto que Constanza es un municipio de la Vega”.
La Conjunción: esta proposición solo es verdadera cuando las dos proposiciones que la forman son verdaderas, y en los demás casos será falsa.
La Disyunción Inclusiva: esta proposición es falsa únicamente cuando las dos proposiciones que la forman son falsa, en caso contrario es verdadera.
La Disyunción Exclusiva: esta solo será verdadera cuando las dos proposiciones que la componen tienen diferentes valores de verdad, en caso contrario es falsa.
La Condicional o Implicación: una condicional solo es falsa cuando su antecedente es verdadero y el consecuente es falso; en lo demás casos la condicional es verdadera.
La Bicondicional o Doble Implicación: esta solo es verdadera cuando las dos proposiciones que la forman tiene el mismo valor de verdad, es decir, cuando las dos proposiciones que la forman ambas sean verdaderas o ambas falsas. En caso contrario la Bicondicional es falsa.